Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh ΔMBD đều.

Để chứng minh tam giác MBD đều, ta sẽ chứng minh rằng các cạnh MB, MD bằng nhau và góc BMD bằng 60 độ.

1. **Định nghĩa M và D**: Theo giả thiết, M thuộc cung nhỏ BC. Ta đã chọn D trên MA sao cho MD = MB. Vậy từ đó có:
\[
MB = MD.
\]

2. **Góc BMD**: Trong tam giác đều ABC, các góc A, B, C đều bằng 60 độ. Từ tính chất của đường tròn nội tiếp, ta có BM và CM đều là dây cung của đường tròn (O; R), với M thuộc cung nhỏ BC, suy ra cả hai góc BMA và CMA cũng bằng nhau (góc tại M).

3. **Góc BMD**: Vì MB = MD, nên ta có tam giác MBD là tam giác có hai cạnh bằng nhau (MB = MD), do đó góc BMD sẽ bằng 60 độ.

Do đó, ta có ΔMBD là tam giác đều với MB = MD và góc BMD = 60°.

### b) Chứng minh MD + MC = MA.

Ta sẽ sử dụng định lý trong tam giác để chứng minh đầy đủ:

1. Ta đã biết D được xác định sao cho MD = MB.
2. Theo định nghĩa về MA, ta có:
\[
MA = MB + BD.
\]

3. Từ tam giác MBD đều, ta có:
\[
BD = MD.
\]

4. Do đó,
\[
MA = MB + MD.
\]

5. Mặt khác, theo công thức của dây cung và cách thiết lập điểm D, ta có:
\[
MC = MB + BC = MB + MD.
\]

6. Kết hợp lại:
\[
MA = MB + MD = MC.
\]

7. Như vậy,
\[
MD + MC = MA.
\]

### c) Xác định M để MA + MB + MC lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta sẽ phân tích hàm số MA + MB + MC:

1. Theo biểu thức ở trên:
\[
MA + MB + MC = 2MB + MA.
\]

2. Xét sự thay đổi của MB dựa theo vị trí của M trên cung BC. Khi M tiến gần lại B, MB nhỏ, nhưng MA tới đỉnh A là lớn. Ngược lại, khi M tiến gần lại C, cũng tương tự sẽ xảy ra.

3. Để tối thiểu hóa MA + MB + MC, ta sẽ thực hiện khảo sát và thấy rằng đường tròn sẽ có tổng này nhỏ nhất khi M nằm chính giữa B và C, tức là M là trung điểm của BC.

4. Ngược lại, khi điều kiện thỏa mãn cả 2 cạnh đều lớn nhất, M nên nằm tại B hoặc C.

Tóm lại:
- OP (M tại trung điểm BC) sẽ cho MA + MB + MC là nhỏ nhất.
- M tại B hoặc C thì tổng này là lớn nhất.

Đó là cách xác định M để MA + MB + MC đạt cực trị.