Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu:

### a) Chứng minh: Tam giác AEF = Tam giác ABC và EF = BC ; EF // BC

1. **Tính chất Tam giác AEF và ABC**:
- Ta có \(AB = AE\) và \(AC = AF\) (theo giả thiết).
- Vì \(E\) nằm trên tia đối của \(AB\) và \(F\) nằm trên tia đối của \(AC\), nên:
- Góc \(BAE = 180^\circ - \angle ABC\).
- Góc \(CAZ = 180^\circ - \angle ACB\).
- do đó, ta có:
\[
\angle AEF = \angle ABC \quad \text{và} \quad \angle AFE = \angle ACB.
\]
- Theo quy tắc tương ứng, ta có: \(AE\) tương ứng với \(AB\) và \(AF\) tương ứng với \(AC\). Ta kết luận rằng:
\[
\triangle AEF \sim \triangle ABC.
\]

2. **Chứng minh EF = BC và EF // BC**:
- Theo theo tỉ lệ hai tam giác tương ứng, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC},
\]
- Vì \(AE = AB\) và \(AF = AC\), ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = 1 \quad \Rightarrow \quad EF = BC.
\]
- Do đó, ta có \(EF // BC\) (vì cùng nằm trong hai tam giác tương ứng).

### b) Chứng minh: BF = CE ; BF // CE

1. **Chứng minh BF = CE**:
- Ta đã biết rằng \(EF = BC\) và \(E\), \(F\) là điểm tương ứng trên các tia đối.
- Vì các độ dài này là các phần của tam giác tương ứng, ta có thể áp dụng tính chất của các đường cao:
\[
BF = CE.
\]

2. **Chứng minh BF // CE**:
- Ta đã biết \(EF // BC\) và lại có \(BF\) là đường trung bình của phân giác, cho nên kiện thật cho \(EF\) cùng với \(CE\) tạo nên một đường thẳng song song:
\[
BF // CE.
\]

### c) Chứng minh: M , A , N thẳng hàng

1. **Tính chất các điểm M, N**:
- Ta có điểm \(M\) là trung điểm của \(BF\) và điểm \(N\) là trung điểm của \(EC\).
- Theo định lý trung điểm trong tam giác, ta có:
\[
BM = \frac{1}{2}BF \quad \text{và} \quad CN = \frac{1}{2}CE.
\]

2. **Chứng minh M, A, N thẳng hàng**:
- Theo tính chất của tam giác, điểm trung điểm luôn nằm trên đoạn thẳng nối các cạnh tương ứng. Từ đó, ta có \(M, A, N\) thẳng hàng nhờ vào \(\triangle AEF\) và tỉ lệ vẽ của các đoạn thẳng.

Kết luận rằng:
- M, A, N thẳng hàng, hoàn thành yêu cầu chứng minh.