Gọi chiều rộng của miếng tôn là \( x \) dm. Vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài sẽ là \( 3x \) dm.

Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm 4 dm và giảm chiều rộng đi 4 dm, ta có:

- Chiều dài mới: \( 3x + 4 \) dm
- Chiều rộng mới: \( x - 4 \) dm

Theo điều kiện trong bài, khi đó chiều dài sẽ gấp 4 lần chiều rộng:

\[
3x + 4 = 4(x - 4)
\]

Giải phương trình:

\[
3x + 4 = 4x - 16
\]

Chuyển hết các số hạng về một phía:

\[
4 + 16 = 4x - 3x
\]
\[
20 = x
\]

Vậy chiều rộng là \( x = 20 \) dm. Chiều dài sẽ là:

\[
3x = 3 \times 20 = 60 \text{ dm}
\]

Diện tích của miếng tôn là:

\[
\text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 60 \times 20 = 1200 \text{ dm}^2
\]

Vậy diện tích miếng tôn là \( 1200 \text{ dm}^2 \).