Xét các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \) và biểu thức \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i} \right|\).
Kéo ô thích hợp thả vào vị trí tương ứng để hoàn thành các câu sau
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng _______
Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \[{a^2} + {b^2}\] bằng _______
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \)
Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \[{a^2} + {b^2}\] bằng 53
Phương pháp giải
- Ta có: \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i\left| = \right|z + 4 - 7i\left| { + 2} \right|z - 2 - 9i} \right|\).
- Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Lời giải
Ta có: \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i\left| = \right|z + 4 - 7i\left| { + 2} \right|z - 2 - 9i} \right|\).
Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M \in \left( C \right)\) với \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).
\(A\left( { - 4;7} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = - 4 + 7i;\) \(B\left( {2;9} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2} = 2 + 9i\), khi đó \(P = MA + 2MB\).
Ta có: \(IB = 2\sqrt {10} > R \Rightarrow B\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Ta có: \(IA = 4\sqrt 5 = 2R\), xét \(E\) sao cho \(\overrightarrow {IE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IE = \frac{1}{2}R}\\{E\left( {2;4} \right)}\end{array}} \right.\) và \(E\) nằm trong \(\left( C \right)\).
Trường hợp 1: \(M \in IA\). Dễ thấy: \(MA = 2ME\).
Trường hợp 2: \(M \notin IA\), xét và có \(\frac = \frac = \frac{1}{2},\widehat {MIE} = \widehat {MIA} \Rightarrow {\rm{\Delta }}EIM\) đồng dạng với suy ra \(\frac = \frac{1}{2} \Leftrightarrow MA = 2ME\).
Từ đó suy ra: \(MA = 2ME\,\,\forall M \in \left( C \right)\).
Khi đó: \(P = 2\left( {ME + MB} \right) \ge 2EB = 10\).
Suy ra \({\rm{Min}}P = 10\) khi \({\rm{M}}\) là giao điểm của đường thẳng \({\rm{EB}}\) với đường tròn \(\left( C \right)(M\) nằm giữa \({\rm{E}},{\rm{B}})\).
Phương trình \(EB:x = 2\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(\left( {2;7} \right);\left( {2; - 1} \right)\).
Vì \(M\) nằm giữa \(E,B \Rightarrow M\left( {2;7} \right)\) là điểm cần tìm.
Suy ra \(a = 2,b = 7 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 53\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |