Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 2028 \), ta có thể thực hiện các bước sau đây:

1. **Chuyển đổi về dạng chuẩn**: Để kiểm soát bài toán một cách dễ dàng, chúng ta sẽ tách biệt các biến \( x \) và \( y \).

2. **Nhóm các hạng tử**: Ta có thể nhóm lại các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[
A = (x^2 - 2xy + 2y^2) + 2x - 6y + 2028
\]

3. **Thực hiện phép hoàn thành bình phương với \( x \) và \( y \)**:

Ta lần lượt hoàn thành bình phương cho từng nhóm \( x \) và \( y \). Đầu tiên, nhóm \( x^2 - 2xy + 2y^2 \) có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^2 - 2xy + 2y^2 = (x - y)^2 + y^2
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
A = (x - y)^2 + y^2 + 2x - 6y + 2028
\]

Để xử lý \( 2x - 6y \), ta có thể viết lại:

\[
2x - 6y = 2(x - 3y)
\]

4. **Lập hàm mới**: Giờ đây, ta có thể xem xét hàm \( B = (x - y)^2 + y^2 + 2(x - 3y) + 2028 \).

5. **Tìm giá trị nhỏ nhất**: Để tìm giá trị nhỏ nhất cho hàm này, ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:

Cụ thể hơn, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm riêng hoặc có thể thử các giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \) để tính toán và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( A \).

Như vậy, ta cần thử nghiệm hoặc sử dụng công cụ tối ưu hóa thích hợp để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này.

***Chú ý:*** Việc giải cụ thể bằng đạo hàm hoặc thử nghiệm các giá trị có thể hơi phức tạp và có thể cần máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ để tính chính xác.

Nếu bạn muốn một phương pháp hoặc giá trị cụ thể hơn nữa, hãy cho tôi biết!