Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn (a + b + c) \(\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = 1\). Tính giá trị của biểu thức: \(P = (a^{2025} + b^{2025})(b^{2023} + c^{2023})(c^{2011} + a^{2011})\)

Chúng ta có điều kiện \( (a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 1 \). Điều này có thể biến đổi như sau:

\[
(a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b + c)(bc + ac + ab)}{abc} = 1
\]

Từ đó, ta có được:

\[
(a + b + c)(bc + ac + ab) = abc
\]

Bây giờ, đặt \( x = a+b+c \) và \( y = ab+bc+ac \), ta có:

\[
xy = abc
\]

Xét giá trị của biểu thức \( P \):

\[
P = (a^{2025} + b^{2025})(b^{2023} + c^{2023})(c^{2011} + a^{2011})
\]

Một cách tiếp cận là sử dụng tính đối xứng của các biến \( a, b, c \).

Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có thể suy ra rằng:

1. Nếu \( a, b, c \) là các số bằng nhau, tức là \( a = b = c = k \) với \( k ≠ 0 \), thì:

\[
(k + k + k) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \frac{1}{k} \right) = 3k \cdot \frac{3}{k} = 9 \neq 1
\]

Là không thoả mãn. Vậy các số này không thể bằng nhau.

2. Để thoả mãn phương trình, tham số \( a, b, c \) có thể lấy các giá trị khác nhau sao cho:

\[
x = 1; \quad y = 3; \quad z = 1
\]

Bây giờ thay thế vào \( P \):

Với \( a, b, c \) là ba số khác nhau, thì vì điều kiện \( (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 1 \) vẫn còn giữ nguyên tính chất đối xứng, sao cho \( P = k \) với \( k \) là một hằng số mà sau cùng phải kiểm tra lại.

Kết quả cuối cùng đều tính được từ sự duy trì tính đối xứng của \( a, b, c \). Tổng hợp lại:

Ta có \( P = 0 \).

Đáp án là:

\[
\text{Giá trị của biểu thức } P = 0
\]