Cho tam giác ABC (AB

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước:

### Chứng minh a) Tứ giác \( OHDS \) là tứ giác nội tiếp

Một tứ giác được coi là nội tiếp nếu tổng các góc đối diện của nó bằng \( 180^\circ \).

1. **Xét góc \( \angle OSD \)**:
- Vì \( S \) là điểm trên tiếp tuyến tại \( D \) của đường tròn \( (O; R) \), nên ta có \( \angle OSD = \angle OAD \).
- Ở đây, \( AD \) là đường kính, do đó \( \angle OAD = 90^\circ \).

2. **Xét góc \( \angle OHD \)**:
- Trên đoạn thẳng \( OH \), do \( H \) là trung điểm của \( BC \) (có nghĩa là \( H \) nằm trên đường nối \( B \) và \( C \)), góc \( \angle OHD \) cũng bằng \( \angle OAD = 90^\circ \).

3. **Tổng góc \( \angle OSD + \angle OHD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)**.

Do đó, \( OHDS \) là tứ giác nội tiếp.

### Chứng minh b) \( OM = ON \)

1. **Xét ba điểm \( O, M, N \)**:
- Tia \( SO \) cắt \( AB \) tại \( M \) và cắt \( AC \) tại \( N \).
- Ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ điểm \( O \) đến đường thẳng \( AB \) bằng khoảng cách từ điểm \( O \) đến đường thẳng \( AC \).

2. **Xét góc \( \angle OMB \) và \( \angle ONC \)**:
- Do \( OM \) và \( ON \) đều là phân giác của góc \( \angle AOB \) và \( \angle AOC \) (vì \( SO \) chia đều hai tia \( AB \) và \( AC \)), nên \( O \) cách đều các cạnh của tam giác \( AMN \).

3. **Kết luận**:
- Nếu \( O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( AMN \), thì \( OM = ON \).

Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng \( OM = ON \).

### Kết luận

Đã chứng minh được rằng tứ giác \( OHDS \) là tứ giác nội tiếp và khoảng cách từ điểm \( O \) đến đường thẳng \( AB \) bằng khoảng cách từ điểm \( O \) đến đường thẳng \( AC \). Vậy \( OM = ON \).