Để tìm tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình \((x^2 + 4x + 1)(x^2 + x + 4) = 0\), chúng ta sẽ giải từng phần của phương trình.

1. **Giải phương trình \(x^2 + 4x + 1 = 0\):**

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
ở đây \( a = 1 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \).

Tính:
\[
b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12
\]
Vậy các nghiệm là:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}
\]
Các nghiệm là \( x_1 = -2 + \sqrt{3} \) và \( x_2 = -2 - \sqrt{3} \).

2. **Giải phương trình \(x^2 + x + 4 = 0\):**

Cũng sử dụng công thức nghiệm:
ở đây \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 4 \).

Tính:
\[
b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15
\]
Vì \(-15 < 0\) nên phương trình này không có nghiệm thực.

3. **Tính tổng bình phương các nghiệm:**

Chúng ta chỉ có hai nghiệm từ phương trình thứ nhất. Tính tổng bình phương các nghiệm:
\[
x_1^2 + x_2^2
\]

Sử dụng công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]

- Tính \(x_1 + x_2\) và \(x_1 x_2\):
\[
x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3}) = -4
\]
\[
x_1 x_2 = (-2 + \sqrt{3})(-2 - \sqrt{3}) = (-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1
\]

Thay vào công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (-4)^2 - 2 \cdot 1 = 16 - 2 = 14
\]

Vậy tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình là \( \boxed{14} \).