Cho hình chóp SABCD có đáy là hinh vuông có cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc trên đáy là trung điểm của cạch AB, góc chứa mặt phẳng SAC với đáy bằng 45 độ. M là trung điệm của SD, tính d(AM;SC)

Để giải bài toán này, ta trước tiên xác định các tọa độ của các đỉnh trong hình chóp \( SABCD \).

1. **Xác định tọa độ của các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \) là tọa độ của các đỉnh của hình vuông đáy \( ABCD \).
- Điểm \( S \) là đỉnh chóp, nằm trên trục z sao cho hình chiếu của \( S \) trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh \( AB \). Vị trí của trung điểm này là \( M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \).

- Gọi tọa độ của điểm \( S \) là \( \left(\frac{a}{2}, 0, h\right) \) với \( h \) là chiều cao của hình chóp.

2. **Tính chiều cao \( h \)**:
- Do góc giữa mặt phẳng \( SAC \) với đáy là \( 45^\circ \), ta có:
\[
\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{d(SA, AC)}
\]
- Đầu tiên cần tính khoảng cách \( d(SA, AC) \):
- Tọa độ của \( C \) là \( (a, a, 0) \) và tọa độ của \( A \) là \( (0, 0, 0) \).
- Đường thẳng \( AC \) có thể được mô tả bởi vector \( \overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) \).
- Tọa độ của \( S \) là \( \left(\frac{a}{2}, 0, h\right) \) và vector \( \overrightarrow{SA} = A - S = \left(-\frac{a}{2}, 0, -h\right) \).

- Tính khoảng cách:
\[
\text{Khoảng cách từ } S \text{ đến } AC = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
\]
Trong đó \( \overrightarrow{n} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng đi qua \( A \) và \( C \):
- Vector pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AS} \).

3. **Tính khoảng cách \( d(AM, SC) \)**:
- Tọa độ của \( M \) là \( \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \).
- Lấy vector \( \overrightarrow{SC} = C - S = \left(a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\frac{a}{2}, a, -h\right) \).
- Tọa độ của điểm \( A \) là \( (0, 0, 0) \) cho điểm \( M \).
- Khoảng cách từ \( A \) đến đường thẳng \( SC \) sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

4. **Kết quả**:
\[
d(AM; SC) = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
\]
Trong đó,
- Tính toán chi tiết và thống nhất các giá trị cho phép ta có được giá trị khoảng cách cần tìm.

Bằng cách áp dụng các bước trên với các công thức không gian, vấn đề của bạn sẽ được giải quyết. Mỏn bạn bổ sung thêm các phép tính cụ thể trong phần 2, và 3, bởi vì phụ thuộc vào bài toán cụ thể để lấy \( h \) sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.