Để tìm các giá trị của \( n \in \mathbb{N} \) sao cho \( 5n + 3 \) chia hết cho \( 3n + 1 \), ta có thể thiết lập phương trình chia:

\[
5n + 3 \equiv 0 \pmod{3n + 1}
\]

Điều này nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[
5n + 3 = k(3n + 1)
\]

Biến đổi lại, ta có:

\[
5n + 3 = 3kn + k
\]

Sắp xếp lại theo \( n \):

\[
5n - 3kn = k - 3
\]

\[
n(5 - 3k) = k - 3
\]

Từ đó, ta thấy rằng:

\[
n = \frac{k - 3}{5 - 3k}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, điều kiện là \( 5 - 3k \) phải khác 0 và \( k - 3 \) phải chia hết cho \( 5 - 3k \).

Bây giờ, ta xét các giá trị của \( k \):

1. **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
n = \frac{1 - 3}{5 - 3 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

2. **Nếu \( k = 2 \)**:
\[
n = \frac{2 - 3}{5 - 3 \cdot 2} = \frac{-1}{-1} = 1 \quad (hợp lệ)
\]

3. **Nếu \( k = 3 \)**:
\[
n = \frac{3 - 3}{5 - 3 \cdot 3} = \frac{0}{-4} = 0 \quad (hợp lệ, nhưng không thuộc N)
\]

4. **Nếu \( k = 4 \)**:
\[
n = \frac{4 - 3}{5 - 3 \cdot 4} = \frac{1}{-7} \quad (\text{không hợp lệ})
\]

5. **Nếu \( k = 0 \)**:
\[
n = \frac{0 - 3}{5 - 3 \cdot 0} = \frac{-3}{5} \quad (\text{không hợp lệ})
\]

Khi thử nghiệm với các giá trị nguyên dương của \( k \) lớn hơn 4, ta sẽ thấy rằng \( 5 - 3k \) sẽ âm, do đó không tạo ra giá trị hợp lệ của \( n \).

Vì vậy, giá trị duy nhất của \( n \in \mathbb{N} \) sao cho \( 5n + 3 \) chia hết cho \( 3n + 1 \) là:

\[
\boxed{1}
\]