Để giải bài toán về hình chóp tứ giác đều \( S.ABCD \), ta tiến hành từng phần:

### a) Tính diện tích một mặt bên của hình chóp \( S.ABCD \)

Hình chóp có mặt bên là tam giác \( SMB \). Ta có:

- Đáy \( BC = 5 \, \text{cm} \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} \).
- Độ cao \( SM = 6 \, \text{cm} \) (điện từ đỉnh xuống trung điểm đáy).

**Diện tích tam giác \( SMB \)**:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{chiều cao} \times \text{đáy} = \frac{1}{2} \times SM \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 2.5 = 7.5 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp \( S.ABCD \)

Diện tích toàn phần được tính bằng tổng diện tích đáy và diện tích các mặt bên.

- Diện tích đáy \( ABCD \):
- Là hình vuông cạnh \( BC = 5 \, \text{cm} \).
- Diện tích = \( 5^2 = 25 \, \text{cm}^2 \).

- Diện tích mặt bên tổng cộng \( 4 \times \text{diện tích mặt bên} \):
\[
\text{Diện tích toàn phần} = \text{Diện tích đáy} + 4 \times \text{Diện tích tam giác } SMB = 25 + 4 \times 7.5 = 25 + 30 = 55 \, \text{cm}^2
\]

### c) Tính thể tích của hình chóp \( S.ABCD \)

Công thức tính thể tích hình chóp là:
\[
V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
\]
- Diện tích đáy = \( 25 \, \text{cm}^2 \)
- Chiều cao = \( SM = 6 \, \text{cm} \)

Do đó, thể tích \( V \) bằng:
\[
V = \frac{1}{3} \times 25 \times 6 = \frac{150}{3} = 50 \, \text{cm}^3
\]

### Kết quả:

- a) Diện tích một mặt bên: \( 7.5 \, \text{cm}^2 \)
- b) Diện tích toàn phần: \( 55 \, \text{cm}^2 \)
- c) Thể tích: \( 50 \, \text{cm}^3 \)