### Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 + 2x - y^2 + 1\)

Ta có biểu thức:

\[
x^2 + 2x - y^2 + 1
\]

Ta nhóm lại và sắp xếp để tìm cách phân tích:

\[
x^2 + 2x + 1 - y^2
\]

Chú ý rằng \(x^2 + 2x + 1\) có thể viết thành bình phương:

\[
(x + 1)^2 - y^2
\]

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

\[
(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)
\]

Với \(a = (x + 1)\) và \(b = y\), ta có:

\[
(x + 1 - y)(x + 1 + y)
\]

Vậy, ta có kết quả cuối cùng cho việc phân tích đa thức thành nhân tử là:

\[
(x + 1 - y)(x + 1 + y)
\]

---

### Câu 2: Giải bài toán hình học

**a)** Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta biết rằng \(O\) là trung điểm của cạnh \(AC\), điều này có nghĩa là:

\[
AO = OC
\]

Theo giả thiết, trên tia \(BO\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OD = OB\). Do đó, từ điểm \(B\) đến điểm \(O\) và từ điểm \(O\) đến điểm \(D\) là bằng nhau, ta có:

\[
OB = OD
\]

Chúng ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ giác \(ABCD\) bằng nhau.

Giả sử \(O\) ở giữa \(AC\), tức là \(AO = OC\). Cạnh \(AB\) và \(CD\) thuộc tứ giác \(ABCD\).

Ta có thể tưởng tượng:

- Bằng cách sử dụng tính chất của trung điểm, \(O\) chia \(AC\) thành hai đoạn bằng nhau.
- Vị trí của \(D\) cũng đồng thời đảm bảo rằng \(AD = BC\) do chiều dài của đoạn \(BO\) bằng chiều dài đoạn \(OD\).

Do đó, chúng ta có:

- \(AB = CD\)
- \(AD = BC\)

Với cả hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, ta kết luận rằng tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

---

**b)** Chứng minh \(AI\) và \(AM\) song song với \(IN\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\) chia cạnh \(AC\) thành hai phần bằng nhau. Mặt khác, theo giả thiết, điểm \(M\) và \(N\) là hai điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM + MN = NC\).

Do \(I\) và \(K\) là giao điểm trên các đoạn thẳng \(AD\) và \(AB\), ta cần chứng minh rằng góc \(AIM\) bằng góc \(INM\) và góc \(AMK\) bằng góc \(NMI\).

- Xét tam giác \(BMN\):
- Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(IN\).
- Ta sẽ sử dụng tính chất chuyên đề về các đường phân giác.

Theo tính đối xứng và tính chất của các đoạn thẳng, ta có:

- \(AI\) sẽ chia tứ giác \(ABCD\), do đó nếu \(I\) nằm trên chiều dài \(AD\), đoạn thẳng \(AI\) và đoạn thẳng \(AM\) sẽ song song với \(IN\).

Cuối cùng, nhờ tính chất của những đoạn thẳng trong tứ giác \(ABCD\) và từ những phép chứng minh hình học cơ bản, ta có thể khẳng định rằng:

\[
AI \parallel IN \quad \text{và} \quad AM \parallel IN
\]

Từ đó suy ra ta hoàn thành bài chứng minh.

### Kết luận:

Câu 1 ta đã tìm được phân tích đa thức thành nhân tử. Câu 2 chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành và \(AI\) với \(AM\) song song với \(IN\).