Để giải phương trình
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{49}{99},
\]
trước hết, ta phân tích tổng bên trái.

Mỗi phân số trong tổng có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right).
\]
Do đó, tổng trở thành:
\[
\sum_{n=1}^{x} \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right).
\]
Tính tổng này, ta có:
\[
\frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{2n - 1} - \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{2n + 1} \right).
\]
Thực hiện phân tách và nhận thấy rằng hầu hết các hạng tử sẽ bị triệt tiêu, ta có:
\[
\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2x + 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x + 1 - 1}{2x + 1} \right) = \frac{x}{2x + 1}.
\]
Vậy tổng trở thành:
\[
\frac{x}{2x + 1} = \frac{49}{99}.
\]

Tiến hành giải phương trình:
\[
99x = 49(2x + 1),
\]
mở rộng và thu gọn:
\[
99x = 98x + 49,
\]
\[
99x - 98x = 49,
\]
\[
x = 49.
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 49 \).