Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### Phần a: Tính cạnh AB và số đo góc C

1. **Tính độ dài cạnh AB:**

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), ta có:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Thay số vào:

\[
AB^2 = 16^2 + 20^2 = 256 + 400 = 656
\]

Tính căn bậc hai:

\[
AB = \sqrt{656} \approx 25.6 \text{ cm}
\]

2. **Tính số đo góc C:**

Ta có thể tính góc C bằng cách sử dụng định nghĩa các hàm lượng giác:

\[
\tan C = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}
\]

Số đo góc C:

\[
C \approx \tan^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) \approx 38.66^\circ \quad (\text{làm tròn đến độ thì } C \approx 39^\circ)
\]

### Phần b: Chứng minh tan(ABD)/ (AB + BC)

1. **Xác định D:**

Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Theo định lý phân giác góc, ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

Đặt \(AD = x\) thì \(DC = AC - x = 16 - x\). Do đó ta có:

\[
\frac{x}{16 - x} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{x}{16 - x} = \frac{25.6}{20}
\]

Từ đó tìm được \(x\).

2. **Chứng minh:**

Để chứng minh đẳng thức:

\[
\tan \angle ABD = \frac{AD}{AB}
\]

và

\[
BD = \frac{BC \cdot AD}{AB + BC}
\]

Luôn đúng theo định nghĩa của tan và tỉ lệ của cạnh đối và cạnh kề.

### Kết luận:

- Độ dài cạnh AB ≈ 25.6 cm.
- Số đo góc C ≈ 39 độ.
- Để chứng minh đẳng thức đã cho, cần sử dụng định lý phân giác góc kết hợp với các tỉ lệ từ tam giác vuông đã cho.

Nếu bạn cần tính toán cụ thể cho phần D và bớt chi tiết nào, vui lòng cho biết thêm.