Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn H, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB. Chứng minh hai tam giác vuông CMH và MBD bằng nhau

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước cần thiết cho mỗi yêu cầu.

### a) Chứng minh hai tam giác vuông CMH và MBD bằng nhau.

**Để chứng minh CMH = MBD:**

1. **Tam giác vuông**: Tam giác ABC vuông tại A, tức là \( AB \perp AC \).
2. **Các điểm**:
- M là trung điểm của BC.
- H là chân đường vuông góc từ M xuống CA, tức là \( MH \perp CA \).
- D là chân đường vuông góc từ M xuống AB, tức là \( MD \perp AB \).

3. **Các cạnh tương ứng**:
- Ta có \( MH \) là đường vuông góc với CA, và \( MD \) là đường vuông góc với AB.
- Mặt khác, đoạn \( MC \) là cạnh huyền của tam giác vuông CMH, và \( MB \) là cạnh huyền của tam giác vuông MBD.

4. **Sử dụng định lý Thales**:
- Ta có:
- \( CM = MB \) (vì M là trung điểm của BC).
- \( MH = MD \) (cùng là đường vuông góc từ M xuống các cạnh CA và AB).

5. **Kết luận**:
- Ta có \( CM = MB \), \( MH = MD \), và cả hai tam giác đều có một góc vuông tại H và D.
- Do đó, hai tam giác CMH và MBD có các cạnh tương ứng bằng nhau và góc vuông, nên:
\[
\triangle CMH \cong \triangle MBD
\]

### b) Chứng minh tứ giác ADMH là hình chữ nhật và D là trung điểm của AB, H là trung điểm của AC.

1. **Chứng minh ADMH là hình chữ nhật**:
- Từ chứng minh phần a), ta thấy rằng \( MH \perp AD \) và \( MD \perp AH \).
- Do đó, \( AD \parallel MH \) và \( AH \parallel MD \).
- Mà \( MH \), \( MD \) lần lượt là các đường vuông góc nên \( ADMH \) là hình chữ nhật.

2. **D là trung điểm của AB, H là trung điểm của AC**:
- Trong một hình chữ nhật, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của cả hai cạnh.
- Do đó, điểm M chính là trung điểm của đoạn AD, vì vậy:
- \( D \) chia đoạn \( AB \) thành 2 phần bằng nhau (vì là 1 cạnh của hình chữ nhật) và tương tự \( H \) chia đoạn \( AC \) thành 2 phần bằng nhau.

### c) Lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN, tứ giác AMCN có là hình vuông không? Vì sao?

1. **Định nghĩa N**:
- Nếu H là trung điểm của MN, thì \( NH = HM \) và \(|AM| = |MC| = |AC| = |AH|\).

2. **Tính chất**:
- Tứ giác AMCN sẽ là hình vuông nếu và chỉ nếu:
- \(|AM| = |MC|\) và góc \( AMH \) vuông.
- H là trung điểm của MN nên \( M \) nằm trên đường chéo của hình vuông.

3. **Kiểm tra**:
- Do \( AM \perp AC \) và \(|AM| = |AC| = |HM|\).
- Do đó, tứ giác AMCN là hình vuông.

Như vậy, từ những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng ADMH là hình chữ nhật, D và H là các trung điểm và tứ giác AMCN có thể là hình vuông tùy thuộc vào vị trí của N.