Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM vuông góc AC tại M, CN vuông góc AB tại N

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các tính chất hình học cơ bản.

**a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác ANC**

1. **Giả thiết:** Tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM vuông góc với AC tại M, CN vuông góc với AB tại N.
2. **Gọi:** Đặt \( AB = AC = a \).
3. **Đối xứng:** Do AB = AC, ta có \( AM = AN \) (chúng đều là chiều cao từ B và C xuống AC và AB).
4. **Góc vuông:** Ta có \( \angle MAB = 90^\circ \) và \( \angle NAC = 90^\circ \).
5. **Cạnh chung:** \( BM = CN \) do cùng là cạnh vuông góc với AB và AC.

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c.g.c) của hai tam giác:
- Tam giác AMB và tam giác ANC đều có hai cạnh AM = AN và BM = CN (cạnh vuông).
- Các góc kề bên tương ứng: \( \angle MAB = \angle NAC = 90^\circ \).

Do đó, ta có:
\[ \triangle AMB \cong \triangle ANC \]

**b) Chứng minh tam giác BCN = tam giác CBM**

1. **Giả thiết:** Vẫn giữ nguyên các giả thiết như trên. Kẻ CN vuông góc với AB tại N và BM vuông góc với AC tại M.
2. **Góc vuông:** Cũng như trước, ta có \( \angle CBN = 90^\circ \) và \( \angle CBM = 90^\circ \).
3. **Các cạnh tương ứng:** Rõ ràng BM = CN.
4. **Cạnh hội tụ:** Ta có \( BC = BC \) (cùng là cạnh).
5. **Đối xứng:** Bởi vì tam giác đều ABC, ta có AB = AC.

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c.g.c):
- \( \triangle BCN \) có cạnh BC chung với tam giác \( \triangle CBM \), cùng cạ́nh BN và BM.

Do đó, ta có:
\[ \triangle BCN \cong \triangle CBM \]

Vậy kết luận, ta đã chứng minh xong rằng:
- \( \triangle AMB = \triangle ANC \)
- \( \triangle BCN = \triangle CBM \)