Để phân tích đa thức trong biểu thức sau:

\[
\frac{x^2 + 9}{x^2 + 3x} + \frac{6}{x + 3}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện từng phần.

### Bước 1: Phân tích từng phần

1. **Xem xét \( x^2 + 3x \):**
\[
x^2 + 3x = x(x + 3)
\]

2. **Xem xét \( x^2 + 9 \):**
Đây là một tổng bình phương, và không thể phân tích thêm qua hệ số thực.

### Bước 2: Biến đổi biểu thức
Rút gọn biểu thức tổng:
\[
\frac{x^2 + 9}{x(x + 3)} + \frac{6}{x + 3}
\]

### Bước 3: Tìm mẫu chung
Mẫu chung của biểu thức là \( x(x + 3) \). Ta viết lại biểu thức:
\[
\frac{x^2 + 9}{x(x + 3)} + \frac{6x}{x(x + 3)} = \frac{x^2 + 9 + 6x}{x(x + 3)}
\]

### Bước 4: Gộp lại
Kết hợp lại:
\[
\frac{x^2 + 6x + 9}{x(x + 3)}
\]

### Bước 5: Phân tích tử số
Tử số \( x^2 + 6x + 9 \) có thể được phân tích:
\[
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
\]

### Bước 6: Thay vào biểu thức
Thay thế vào biểu thức đã có:
\[
\frac{(x + 3)^2}{x(x + 3)}
\]

### Bước 7: Rút gọn
Rút gọn, chúng ta nhận được:
\[
\frac{x + 3}{x}
\]

### Kết luận
Biểu thức cuối cùng được rút gọn thành:
\[
1 + \frac{3}{x}
\]

Đây là kết quả cuối cùng cho bài toán phân tích và rút gọn đa thức trên.