Để chứng minh bất đẳng thức \( 5 \cdot 2^{99} > S \) với \( S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \), trước hết chúng ta sẽ tính giá trị của \( S \).

Tổng \( S \) là một tổng số học với số hạng đầu là 1 và số hạng cuối là \( 2^{100} \). Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là tỷ số, và \( n \) là số hạng cuối:

- \( a = 1 \)
- \( r = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{100} \) nên số hạng là \( n = 101 \).

Áp dụng công thức, ta có:

\[
S = 1 \cdot \frac{2^{101} - 1}{2 - 1} = 2^{101} - 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra bất đẳng thức:

\[
5 \cdot 2^{99} > S \quad \text{hay} \quad 5 \cdot 2^{99} > 2^{101} - 1
\]

Chuyển vé bên phải sang bên trái:

\[
5 \cdot 2^{99} + 1 > 2^{101}
\]

Ta có thể viết lại \( 2^{101} \) là \( 4 \cdot 2^{99} \):

\[
5 \cdot 2^{99} + 1 > 4 \cdot 2^{99}
\]

Đưa \( 4 \cdot 2^{99} \) sang bên trái:

\[
5 \cdot 2^{99} - 4 \cdot 2^{99} + 1 > 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2^{99} + 1 > 0
\]

Điều này là đúng với mọi \( n \) (vì \( 2^{99} > 0 \)). Thực tế, bất đẳng thức khẳng định là đúng.

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng:

\[
5 \cdot 2^{99} > S
\]

Kết luận: Bất đẳng thức \( 5 \cdot 2^{99} > 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{100} \) là đúng.