Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: \( a + b + c = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
S = \frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{bc}{b^2+c^2} + \frac{ca}{c^2+a^2} + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right),
\]

với điều kiện \( a + b + c = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.

1. **Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:

Từ Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) \geq (ab + bc)^2,
\]

hay:

\[
ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}.
\]

Tương tự cho các phần khác trong biểu thức \( S \).

2. **Tính giá trị \( S \)**:

Khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \), ta tính giá trị của \( S \):

\[
S = 3 \cdot \frac{\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)}{\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{3}} \right).
\]

Tính từng phần:

Phần đầu:

\[
\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{2} \Rightarrow S_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
\]

Phần thứ hai:

\[
\frac{1}{4} \cdot \left( 3 \cdot 3 \right) = \frac{9}{4}.
\]

Vậy:

\[
S = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}.
\]

3. **Kết luận**:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S \) là \( \frac{15}{4} \) khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \).