Cho tam giác \(ABC\) với \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\). Dưới đây là hướng dẫn cho các phần a, b, c trong bài toán.

### a) Chứng minh rằng \(AM\) là phân giác của \(\angle BAC\)

1. Trong tam giác \(ABC\), vì \(AB = AC\) nên \(\angle ABC = \angle ACB\).
2. Gọi \(D\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(BC\). Khi đó, \(M\) là trung điểm của \(BC\) tức là \(BM = MC\).
3. Sử dụng định lý phân giác: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \).
4. Từ đó suy ra \( \frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow AB = AC\).
5. Vậy \(AM\) là phân giác của \(\angle BAC\).

### b) Chứng minh rằng \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\)

1. Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC\).
2. Tam giác \(ABM\) và \(ACM\) có:
- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(BM = MC\) (định nghĩa trung điểm)
- \(AM = AM\) (đối xứng)
3. Do đó, theo tiêu chí bằng nhau của tam giác, ta có \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\).
4. Suy ra góc \(\angle ABM = \angle ACM\) và \(AM\) vuông góc với \(BC\).
5. Vậy \(AM\) là đường trung trực của \(BC\).

### c) Chứng minh rằng \(A, E, M\) thẳng hàng

1. Với \(E\) là điểm trên mặt phẳng chứa \(BC\) sao cho \(EB = EC\).
2. Xét tam giác \(ABE\) và \(ACE\):
- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(BE = CE\) (yêu cầu)
- \(AE = AE\) (đối xứng)
3. Suy ra \(\triangle ABE \cong \triangle ACE\).
4. Suy ra \(\angle ABE = \angle ACE\), tức là \(A\) nằm trên đường thẳng đi qua \(E\) và \(M\).
5. Do đó, \(A, E, M\) thẳng hàng.

Vậy đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu.