Để tính độ dài cạnh \( AN \) trong tam giác \( ABC \) với các thông số đã cho, trước hết, ta có thể sử dụng định lý sin để xác định các cạnh khác trong tam giác.

1. **Xác định góc \( BAC \)**:
\[
\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ
\]

2. **Sử dụng định lý sin để tìm cạnh \( AC \)**:
\[
\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}
\]
\[
\frac{AC}{\sin(45^\circ)} = \frac{16}{\sin(105^\circ)}
\]

Với \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( \sin(105^\circ) = \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \), ta có:
\[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]

Tính toán:
\[
AC = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
\]

3. **Sử dụng định lý cos để tính cạnh \( AB \)**:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)
\]
Áp dụng giá trị cạnh \( AC \) vừa tìm được.

4. **Tính độ dài \( AN \)**:
Góc \( \angle ANB = 90^\circ \), ta sử dụng tỉ số lượng giác:
\[
AN = AC \cdot \sin(\angle ACB) = AC \cdot \sin(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{2}
\]

5. **Cuối cùng**, tính toán và làm tròn số liệu đến chữ số thập phân thứ hai để tìm giá trị cụ thể cho \( AN \).

Lưu ý rằng để có được giá trị cuối cùng, bạn có thể cần thi hành thêm các phép tính cụ thể từ các kết quả trung gian trên nhằm có kết quả chính xác cho độ dài \( AN \).