Để giải phương trình:

\[
\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = x^3 + x^2 - 4x - 1
\]

Đầu tiên, chúng ta cần xác định miền xác định của phương trình. Với \( \sqrt{3-x} \), ta có điều kiện:

\[
3 - x \geq 0 \implies x \leq 3
\]

Với \( \sqrt{x+2} \), ta có điều kiện:

\[
x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2
\]

Vậy miền xác định của phương trình là:

\[
-2 \leq x \leq 3
\]

Tiếp theo, ta sẽ thay thế và kiểm tra một số giá trị nguyên trong miền xác định để tìm nghiệm.

1. **Thử \( x = -2 \):**
\[
\sqrt{3 - (-2)} + \sqrt{-2 + 2} = \sqrt{5} + 0 = \sqrt{5}
\]
\[
(-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) - 1 = -8 + 4 + 8 - 1 = 3
\]
Không phải nghiệm.

2. **Thử \( x = -1 \):**
\[
\sqrt{3 - (-1)} + \sqrt{-1 + 2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3
\]
\[
(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 1 = -1 + 1 + 4 - 1 = 3
\]
Đây là nghiệm.

3. **Thử \( x = 0 \):**
\[
\sqrt{3 - 0} + \sqrt{0 + 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}
\]
\[
0^3 + 0^2 - 4(0) - 1 = -1
\]
Không phải nghiệm.

4. **Thử \( x = 1 \):**
\[
\sqrt{3 - 1} + \sqrt{1 + 2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}
\]
\[
1^3 + 1^2 - 4(1) - 1 = 1 + 1 - 4 - 1 = -3
\]
Không phải nghiệm.

5. **Thử \( x = 2 \):**
\[
\sqrt{3 - 2} + \sqrt{2 + 2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3
\]
\[
2^3 + 2^2 - 4(2) - 1 = 8 + 4 - 8 - 1 = 3
\]
Đây là nghiệm.

6. **Thử \( x = 3 \):**
\[
\sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 + 2} = 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}
\]
\[
3^3 + 3^2 - 4(3) - 1 = 27 + 9 - 12 - 1 = 23
\]
Không phải nghiệm.

Vậy các nghiệm của phương trình là:

\[
x = -1 \quad \text{và} \quad x = 2
\]

Tóm lại, nghiệm của phương trình là \( x = -1 \) và \( x = 2 \).