Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x-1)^2 + |2x - y| + 2024 \), chúng ta cần phân tích từng thành phần của biểu thức.

1. Thành phần thứ nhất: \((x-1)^2\) có giá trị nhỏ nhất là \(0\) khi \(x=1\).

2. Thành phần thứ hai: \(|2x - y|\) là một giá trị không âm, và giá trị nhỏ nhất của nó cũng là \(0\). Điều này xảy ra khi \(y = 2x\).

Khi \(x = 1\), chúng ta có:
\[
y = 2 \cdot 1 = 2.
\]
Với \(x = 1\) và \(y = 2\), ta có:
\[
A = (1-1)^2 + |2 \cdot 1 - 2| + 2024 = 0 + 0 + 2024 = 2024.
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \(\boxed{2024}\).