Để chứng minh rằng tứ giác APHQ là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác APHQ là hình chữ nhật

1. **Xét tam giác vuông ABC**: bởi vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.

2. **Hình chiếu H lên AB và AC**: Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Do H là hình chiếu vuông góc xuống hai đường thẳng AB và AC, nên ta có:
- \( HP \perp AB \)
- \( HQ \perp AC \)

3. **Trung điểm I và K**: Gọi I là trung điểm của đoạn HB và K là trung điểm của đoạn HC. Điều này có nghĩa rằng:
- \( IH = \frac{HB}{2} \)
- \( KH = \frac{HC}{2} \)

4. **Duy trì tính đồng dạng**: Do AH là đường cao, tam giác AHP và AQH cũng là các tam giác vuông tại H. Vì vậy, chúng ta có thể suy luận rằng các góc tại H đều là 90 độ.

5. **Chứng minh bốn cạnh bằng nhau**: Để chứng minh rằng AP = HQ và AQ = PH, ta có:
- Hình chiếu vuông góc làm cho AD và AH đều là cạnh của tam giác vuông, dẫn đến P và Q đều nằm trên đường thẳng vuông góc.
- Do còn lại các cạnh PQ nối với nhau tạo thành hình chữ nhật khi ta có bốn góc đều bằng 90 độ.

Kết luận: Do bốn góc đều bằng 90 độ và các cạnh đối diện bằng nhau, APHQ là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh PI // QK

Để chứng minh rằng PI // QK, ta cần xem xét tính chất của các hình chiếu vuông góc và trung điểm.

1. **Hình chiếu và tính chất vuông góc**: Do P và Q là các hình chiếu vuông góc, nên \( PH \perp AB \) và \( QH \perp AC \).

2. **Tính chất của các trung điểm**: I và K là trung điểm của HB và HC tương ứng. Do đó, đoạn thẳng nối trung điểm I và K sẽ song song với đoạn thẳng PQ, với điều kiện rằng PQ nằm trên các đường thẳng đi qua các điểm H.

3. **Suy luận song song**: Như vậy, ta có hình thành một biểu thức lưu trữ tính chất song song: \( PI \parallel QK \).

### 2) Tính khoảng cách giữa hai điểm B và C

Giả định trong bài toán:
- AB = 1 m
- BD = 15 m
- DE = 3 m
- EDA = CBA

Dựa vào thông tin trên, ta có thể áp dụng tính chất hằng số trong tam giác vuông để tính khoảng cách BC.

1. Tổng hợp lại thông tin: BC = AB + BD + DE
\[
BC = 1 + 15 + 3 = 19 \, m
\]

Kết luận: Khoảng cách giữa hai điểm B và C là 19 m.