Để tìm các cặp số \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[
y^4 + y^2 + x^2 - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0
\]

ta có thể phân tích và tìm nghiệm cho phương trình này.

1. **Thay đổi cách diễn đạt**:
Đặt \(y^2 = z\), thì phương trình trở thành bậc 4 đối với \(y\):
\[
z^2 + z + x^2 - 8\sqrt{z} - 4x + 2x\sqrt{z} + 7 = 0
\]
Tiến hành giải theo \(y\) và \(x\) là những biến tự do.

2. **Giải theo \(y\)**:
Tách nhóm các hệ số của \(y\) lại:
\[
y^4 + (2x - 8)y + (x^2 - 4x + 7) = 0
\]
Phương trình này là một phương trình bậc 4 đối với \(y\). Để có nghiệm thực, chúng ta có thể áp dụng quy tắc về nghiệm của đa thức, điều này phụ thuộc vào hệ số.

3. **Sử dụng điều kiện discriminant**:
Để tìm các nghiệm thực, ta cần biết rằng biểu thức discriminant của phương trình bậc 4 là không âm.

4. **Thử nghiệm với các giá trị cụ thể**:
Ta có thể bắt đầu thử với các giá trị nguyên của \(x\) và giải phương trình bậc 4 để tìm \(y\).

Để có kết quả chi tiết hơn, bạn có thể sử dụng phương pháp số hoặc thay thế với các giá trị cụ thể cho \(x\) và giải ra các giá trị tương ứng của \(y\). Việc này sẽ cho phép bạn tìm ra các cặp số \((x, y)\) cụ thể đáp ứng phương trình đã cho.