Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh rằng △OAB, △OCD là các tam giác cân.

Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Vì hình thang cân \(ABCD\) có \(AB \parallel CD\) và \(AB < CD\), chúng ta có các đặc điểm sau:

- Tia \(OA\) và tia \(OB\) chia các góc tại \(O\) thành các góc bằng nhau. Cụ thể, chúng ta có \(\angle OAB = \angle OBA\).
- Tương tự, tia \(OC\) và tia \(OD\) cũng chia các góc tại \(O\) thành các góc bằng nhau: \(\angle OCD = \angle ODC\).

Vì vậy, cả hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\) đều có hai cạnh và một góc bằng nhau. Do đó, \(△OAB \cong △OAB\) và \(△OCD \cong △OCD\), sau đó chúng ta có:
\[
\text{△OAB là tam giác cân và △OCD là tam giác cân.}
\]

### b) Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.

Từ yêu cầu trước, ta có các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Ta biết rằng \(O\) là giao điểm của hai đường chéo trong hình thang cân \(ABCD\), và các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh.
- Đường thẳng \(MN\) sẽ song song với \(PQ\) vì \(AB \parallel CD\) và \(M\) và \(N\) là trung điểm của các đoạn thẳng song song này.
- Tương tự, đường thẳng \(MP\) và \(NQ\) cũng song song với nhau vì chúng cắt nhau tại các điểm trung điểm của hai cạnh đối diện.

Do đó, \(MN \parallel PQ\) và \(MP \parallel NQ\). Bởi vậy, tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi vì có hai cặp cạnh đối diện song song và đều có độ dài bằng nhau (việc này sẽ rõ ràng thông qua các giả thiết về sự cân đối của hình thang).

### c) Chứng minh rằng OP là tia phân giác của NOQ.

Để chứng minh rằng tia \(OP\) là tia phân giác của góc \(NOQ\), ta sẽ xem xét các tam giác mà \(O\) là giao điểm.

Trong tam giác \(ONQ\) và \(OPQ\):
- Gọi \(d_1\) là độ dài đoạn thẳng \(ON\), và \(d_2\) là độ dài đoạn thẳng \(OQ\).
- Do \(M\), \(N\), \(P\), và \(Q\) là các trung điểm, ta có rằng:
\[
\frac{OM}{ON} = \frac{OM}{OP}
\]

Và do \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\), ta sẽ có tỉ lệ cạnh tương ứng \(OQ\) và \(OP\) như là một tỉ lệ đối xứng.

Do đó, từ định nghĩa tia phân giác và các tính chất đối xứng của hình thang, ta có rằng \(OP\) chính là tia phân giác của góc \(NOQ\).

### Kết luận

Như vậy, chúng ta đã chứng minh:
- a) \(△OAB\) và \(△OCD\) là các tam giác cân.
- b) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi.
- c) Tia \(OP\) là tia phân giác của góc \(NOQ\).