Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin A = AB \cdot BC \cdot \sin B = BC \cdot CD \cdot \sin C = CD \cdot AD \cdot \sin D \)

Để chứng minh rằng:

\[
S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin A = AB \cdot BC \cdot \sin B = BC \cdot CD \cdot \sin C = CD \cdot AD \cdot \sin D
\]

chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và công thức tính diện tích.

### 1. Tính diện tích \( S_{ABCD} \)

Hình bình hành \( ABCD \) có chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC. Gọi chiều cao này là \( h_A \). Diện tích của hình bình hành được tính như sau:

\[
S_{ABCD} = AB \cdot h_A
\]

### 2. Tính chiều cao \( h_A \)

Chiều cao \( h_A \) được tính bằng \( AD \cdot \sin A \):

\[
h_A = AD \cdot \sin A
\]

Vậy ta có:

\[
S_{ABCD} = AB \cdot (AD \cdot \sin A) = AB \cdot AD \cdot \sin A
\]

### 3. Tương tự cho các cạnh khác

#### Diện tích từ cạnh \( BC \)

Tương tự, chiều cao từ B xuống cạnh AD là \( h_B = BC \cdot \sin B \). Khi đó:

\[
S_{ABCD} = BC \cdot h_B = BC \cdot (AD \cdot \sin B)
\]

Như vậy, ta cũng có:

\[
S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin B
\]

#### Diện tích từ cạnh \( CD \)

Chiều cao từ C xuống AB là \( h_C = CD \cdot \sin C \):

\[
S_{ABCD} = CD \cdot h_C = CD \cdot (AD \cdot \sin C)
\]

#### Diện tích từ cạnh \( AD \)

Chiều cao từ D xuống BC là \( h_D = AD \cdot \sin D \):

\[
S_{ABCD} = AD \cdot h_D = AD \cdot (AB \cdot \sin D)
\]

### Kết luận

Từ các phương trình trên, ta có:

\[
S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin A = AB \cdot BC \cdot \sin B = BC \cdot CD \cdot \sin C = CD \cdot AD \cdot \sin D
\]

Điều này chứng minh rằng các công thức tính diện tích đều bằng nhau, tương ứng theo các cạnh và góc của hình bình hành.