Chứng tỏ rằng \[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} < 1 \]? Cho hình vẽ (Hình 3), AX // BY. Tính \( \angle AOB? \)

Để chứng tỏ rằng

\[
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} < 1,
\]

chúng ta có thể nhóm các hạng tử theo cặp:

\[
(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100}).
\]

Mỗi cặp như vậy trở thành:

\[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}.
\]

Do đó, tổng được viết lại thành:

\[
\sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right).
\]

Tổng có thể được đánh giá như sau:

\[
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \leq \sum_{n=1}^{50} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right) < 1,
\]

vì mỗi cặp hạng tử của tổng trên đều nhỏ hơn 1.

Đối với phần góc \( \angle AOB \) trong hình vẽ, nếu biết rằng \( AX \parallel BY \), thì góc \( \angle AOB \) có thể xác định bằng cách sử dụng tính chất của các góc đồng vị hoặc các góc so le trong hình học.

Cần thêm thông tin về các góc hoặc các số liệu liên quan để tính giá trị cụ thể của \( \angle AOB \). Nếu trong hình có các góc đã biết hoặc liên hệ với các đường thẳng song song, có thể áp dụng trực tiếp các tính chất hình học để tìm ra giá trị cần thiết.