Chúng ta sẽ giải từng phần trong bài toán này:

### a) Chứng minh tứ giác DFEB là hình thang cân.

Cho hình vuông ABCD với các đỉnh lần lượt là A, B, C, D. Giả sử các đỉnh có tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)

E là trung điểm AB nên tọa độ của E là:
\[ E\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \]

F là trung điểm AD nên tọa độ của F là:
\[ F\left(0, \frac{0 + a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}\right) \]

Bây giờ, ta sẽ tính độ dài các đoạn DF và EB:
- Độ dài DF (từ D đến F):
\[
DF = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}
\]

- Độ dài EB (từ E đến B):
\[
EB = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}
\]

Ta thấy rằng \( DF = EB \), tức là DF và EB bằng nhau.

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh DF và EB song song.
- Đoạn DF nằm trên cạnh AD, có độ dốc:
\[
\text{Độ dốc của DF} = \frac{\frac{a}{2} - a}{0 - 0} = \text{chưa xác định}
\]
- Đoạn EB nằm trên cạnh AB, có độ dốc:
\[
\text{Độ dốc của EB} = \frac{0 - 0}{\frac{a}{2} - a} = 0
\]

Vì DF và EB đều nằm trên các đoạn thẳng vuông góc với các cạnh của hình vuông (AD và AB), ta kết luận rằng tứ giác DFEB là hình thang cân (một cặp cạnh song song và bằng nhau).

### b) Tứ giác AQIP là hình chữ nhật.

Từ I là trung điểm EF, ta sẽ chứng minh AQIP là hình chữ nhật.
- IP vuông góc AD tại P (nghĩa là PA vuông góc với AD).
- IQ vuông góc AB tại Q (nghĩa là QA vuông góc với AB).

Do đó, tại điểm I, chúng ta có hai đường vuông góc nên AQIP là một hình chữ nhật.

### c) Chứng minh A, I, C thẳng hàng.

Ta đã biết rằng:
- A(0, 0)
- C(a, a)

A là trung điểm của I. Để chứng minh A, I, C thẳng hàng, ta sử dụng phương trình đường thẳng. Phương trình là một hàm bậc nhất trong hai biến.

Giả sử I nằm trên đoạn AE và có tọa độ là:
\[ I\left(\frac{a/2 + 0}{2}, \frac{0 + a/2}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right) \]

Ta xem xét ba điểm A, I và C, nếu ba điểm này thẳng hàng thì độ dốc của cả hai đoạn AI và IC phải bằng nhau.

Độ dốc AI sẽ là:
\[
\text{Độ dốc AI} = \frac{\frac{a}{4} - 0}{\frac{a}{4} - 0} = 1
\]
Độ dốc IC sẽ là:
\[
\text{Độ dốc IC} = \frac{a - \frac{a}{4}}{ a - \frac{a}{4}} = 1
\]

Cả hai độ dốc đều bằng nhau, vậy A, I, C thẳng hàng.

### d) Chứng minh K là trung điểm CD.

Gọi K là giao điểm của BH và CD. Để chứng minh K là trung điểm của đoạn CD, ta cần tìm tọa độ của K.

Tọa độ của C là C(a, a) và D là D(0,a). Do BH vuông góc với CF, K sẽ nằm tại tọa độ trung bình giữa C và D.

Tọa độ trung điểm CD sẽ là:
\[
K\left(\frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a\right)
\]

Vì BH cắt CD theo phương ngang và đoạn BH được vẽ vuông với CF, từ đó K có tọa độ là điểm giữa, ta có:
\[
K\left(\frac{a}{2}, a\right) = K
\]
K là trung điểm của CD.

Vậy K là trung điểm của CD.

Hy vọng với các giải thích trên, bạn có thể nắm được các phần yêu cầu của bài toán một cách dễ dàng!