Để phân tích đa thức \(\left(x + \frac{y}{x}\right)^3\), ta có thể sử dụng định lý nhị thức (Binomial Theorem).

Theo định lý nhị thức, ta có công thức:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

Trong trường hợp này, \(a = x\), \(b = \frac{y}{x}\), và \(n = 3\). Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
\left(x + \frac{y}{x}\right)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} \left(\frac{y}{x}\right)^k
\]

Bây giờ, ta tính từng hạng tử:

- Với \(k = 0\):
\[
\binom{3}{0} x^3 \left(\frac{y}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^3 \cdot 1 = x^3
\]

- Với \(k = 1\):
\[
\binom{3}{1} x^{3-1} \left(\frac{y}{x}\right)^1 = 3 \cdot x^2 \cdot \frac{y}{x} = 3xy
\]

- Với \(k = 2\):
\[
\binom{3}{2} x^{3-2} \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 3 \cdot x^1 \cdot \left(\frac{y^2}{x^2}\right) = 3\frac{y^2}{x}
\]

- Với \(k = 3\):
\[
\binom{3}{3} x^{3-3} \left(\frac{y}{x}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{y^3}{x^3} = \frac{y^3}{x^3}
\]

Tổng hợp các hạng tử lại, ta có:

\[
\left(x + \frac{y}{x}\right)^3 = x^3 + 3xy + 3\frac{y^2}{x} + \frac{y^3}{x^3}
\]

Vậy đa thức đã phân tích là:

\[
x^3 + 3xy + 3\frac{y^2}{x} + \frac{y^3}{x^3}
\]