Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ việc xác định các điểm trong không gian:

1. Gọi \(B\) và \(C\) là hai điểm trên trục hoành (thẳng đứng), với:
\[
B(0, 0) \quad \text{và} \quad C(\sqrt{2}, 0)
\]
Do đó, trung điểm \(I\) của cạnh huyền \(BC\) sẽ là:
\[
I \left( \frac{0 + \sqrt{2}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right)
\]

2. Để xác định điểm \(A\) và \(D\):
- Tam giác vuông \(ABC\) có chân vuông tại điểm \(B\), vậy điểm \(A\) có thể được coi là nằm trên trục tung (thẳng đứng) nên ta sẽ gọi:
\[
A\left(0, a\right)
\]
- Tam giác vuông \(DBC\) có chân vuông tại điểm \(D\), do đó chúng ta giả định tọa độ \(D\) như sau:
\[
D\left(\sqrt{2}, d\right)
\]

3. Dựa vào điều kiện góc \(AID = 120^\circ\):
\[-\text{Vectơ} \vec{IA} = A - I = (0 - \frac{\sqrt{2}}{2}, a - 0) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, a\right)\]
\[-\text{Vectơ} \vec{ID} = D - I = \left(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}, d - 0\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, d\right)\]

4. Biểu thức của vectơ tổng:
\[
\vec{IA} + \vec{ID} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, a\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, d\right) = (0, a + d)
\]

5. Để tính độ dài của vectơ này:
\[
|\vec{IA} + \vec{ID}| = \sqrt{0^2 + (a + d)^2} = |a + d|
\]

6. Kết quả đầu ra phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(d\). Lưu ý từ điều kiện \(AID = 120^\circ\) và \(cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\) bạn sẽ tìm ra mối liên hệ giữa \(a\) và \(d\). Tuy nhiên trong trường hợp này, thông tin về \(A\) và \(D\) không đủ để xác định giá trị cụ thể của \( | \vec{IA} + \vec{ID}| \).

Cuối cùng, bạn có thể sử dụng thang bậc trong trục hoành để tìm ra mối quan hệ nếu bạn biết được các độ dài cụ thể của \(a\) và \(d\). Nếu không, ta chỉ dừng lại ở câu:
\[
|\vec{IA} + \vec{ID}| = |a + d|
\]