Để tính tổng các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện \( -2009 < x \leq 2008 \), ta xác định các giới hạn của \( x \):

- Giới hạn dưới: \( x \) phải lớn hơn \(-2009\), vì vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là \(-2008\).
- Giới hạn trên: \( x \) phải nhỏ hơn hoặc bằng \( 2008 \), nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn là \( 2008 \).

Vậy, các số nguyên trong khoảng này là:

\(-2008, -2007, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 2008\).

### Tính tổng:
Tổng các số này có thể chia thành hai phần:

1. Tổng các số âm từ \(-2008\) đến \(-1\).
2. Tổng các số không từ \(0\) đến \(2008\).

**Tổng các số âm:**
Tổng của các số nguyên từ \(-n\) đến \(-1\) là:
\[
\text{Tổng} = -\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)
\]
Với \( n = 2008 \):
\[
\text{Tổng các số âm} = -\left(\frac{2008 \cdot 2009}{2}\right) = -2017072
\]

**Tổng các số không âm:**
Tổng của các số nguyên từ \(0\) đến \(m\) là:
\[
\text{Tổng} = \frac{m(m + 1)}{2}
\]
Với \( m = 2008 \):
\[
\text{Tổng các số dương} = \frac{2008 \cdot 2009}{2} = 2017072
\]

### Tổng chung:
Khi cộng hai phần này lại:
\[
\text{Tổng} = -2017072 + 2017072 + 0 = 0
\]

Vậy tổng của các số nguyên \( x \) thỏa mãn \( -2009 < x \leq 2008 \) là **0**.