Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE

Để giải bài toán đã cho, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác AEF vuông cấn.
1. Xét tam giác AEF.
2. Ta có BF = DE, nghĩa là độ dài của hai đoạn này bằng nhau.
3. Với hình vuông ABCD, các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và vuông góc với nhau.
4. Gọi G là giao điểm của AE với CF. Khi đó, AE và CF tạo thành hai góc với hai điểm E và F là đỉnh của tam giác AEF.
5. Ta có thể chứng minh rằng góc AEF = 90° bằng cách xem xét hình chiếu của các đoạn thẳng.

### b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.
1. Tính tọa độ của E và F, sau đó tính tọa độ trung điểm I.
2. Chứng minh rằng tọa độ của I nằm trên đường thẳng BD (tính từ tọa độ của B và D).
3. Nếu I nằm giữa B và D, thì I thuộc BD.

### c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
1. Xác định tọa độ của K dựa trên tọa độ của A và I.
2. Chứng minh rằng bốn cạnh AE, EK, KF, FA đều bằng nhau.
3. Chứng minh rằng các góc AEK, KEF, EFA, FAE đều bằng 90°.
4. Kết luận rằng AEKF là hình vuông khi thỏa mãn cả về cạnh và góc.

Kết luận: Trong từng bước, sử dụng tính chất của hình vuông và định nghĩa của hình vuông, điều này sẽ giúp bạn hoàn thiện bài toán một cách chắc chắn.