Để dãy số \( (U_n) \) với công thức \( U_n = \frac{a^n - 4}{n - 1} \) là một dãy số tăng, ta cần kiểm tra điều kiện \( U_{n+1} > U_n \) cho mọi \( n \geq 1 \).

Ta có:

\[
U_{n+1} = \frac{a^{n+1} - 4}{n}
\]
\[
U_n = \frac{a^n - 4}{n - 1}
\]

Để phân tích điều kiện tăng, ta sẽ xét \( U_{n+1} - U_n \):

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{a^{n+1} - 4}{n} - \frac{a^n - 4}{n - 1}
\]

Đưa về mẫu chung, ta có:

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{(a^{n+1} - 4)(n - 1) - (a^n - 4)n}{n(n - 1)}
\]

Để dãy số \( U_n \) là dãy số tăng, điều kiện này phải lớn hơn 0:

\[
(a^{n+1} - 4)(n - 1) - (a^n - 4)n > 0
\]

Khi rút gọn, ta có:

\[
a^{n+1}(n - 1) - a^n n - 4(n - 1) + 4n > 0
\]
\[
a^{n+1}(n - 1) - a^n n + 4 > 0
\]

Phân tích điều kiện này có thể phức tạp. Tuy nhiên, sẽ dễ hơn nếu ta kiểm tra xu hướng của \( a^n \) khi \( a \) có giá trị cụ thể.

- Nếu \( a = 1 \): \( U_n = 0 \), không phải là dãy số tăng.
- Nếu \( a = 2 \): Có thể chứng minh rằng dãy sẽ tăng.
- Nếu \( a > 2 \), dãy cũng sẽ tăng.

Phong cách này giúp chúng ta nhận ra rằng giá trị của \( a \) cần phải lớn hơn 1 để dãy \( U_n \) có thể tăng lên.

Áp dụng các điều kiện trên, ta có:

1. \( a \) cần là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2.

Do đó, các giá trị của \( a \) có thể là \( 2, 3, 4, \ldots \) (không giới hạn trên).

### Kết luận:
Số lượng các số nguyên dương \( a \) để dãy \( U_n \) là dãy số tăng là vô hạn, hay nói cách khác: tác giả có thể chọn bất kỳ số nguyên dương nào lớn hơn hoặc bằng 2.