Cho x + y = 2. Khi đó giá trị của đa thức M = x³ + y³ - 2xy + 2x + 2y là

Để giải bài toán cho \( x + y = 2 \) và tìm giá trị của đa thức

\[
M = x^3 + y^3 - 2xy + 2x + 2y,
\]

trước tiên, ta áp dụng công thức tổng khối lập phương:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).
\]

Vì \( x + y = 2 \), ta có:

\[
x^3 + y^3 = 2(x^2 - xy + y^2).
\]

Ta cũng có thể viết \( x^2 + y^2 \) qua \( x+y \):

\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 4 - 2xy.
\]

Thay vào biểu thức:

\[
x^3 + y^3 = 2(4 - 2xy - xy) = 8 - 6xy.
\]

Giờ thì thay vào \( M \):

\[
M = (8 - 6xy) - 2xy + 2(x + y).
\]

Thay \( x + y = 2 \):

\[
M = (8 - 6xy) - 2xy + 4 = 12 - 8xy.
\]

Tính tiếp:

\[
M = 12 - 8xy.
\]

Vậy cần tính giá trị của \( xy \) khi \( x + y = 2 \). Đặt \( xy = t \), thì \( x \) và \( y \) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
z^2 - 2z + t = 0.
\]

Áp dụng công thức nghiệm, ta có:

\[
D = 2^2 - 4t = 4 - 4t.
\]

Phương trình có nghiệm thực khi \( D \geq 0 \):

\[
4 - 4t \geq 0 \Rightarrow t \leq 1.
\]

Giá trị cực đại của \( xy \) là \( 1 \) khi \( x = y = 1 \).

Thay \( t = 1 \) vào biểu thức của \( M \):

\[
M = 12 - 8(1) = 12 - 8 = 4.
\]

Vậy giá trị của đa thức \( M \) là:

\[
\boxed{4}.
\]