Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học phẳng trong tam giác vuông, và tứ giác.

1. **Chứng minh AM = AE (điểm a)**:

Trong tam giác vuông ABC, với A là góc vuông, và M là trung điểm của cạnh BC. Gọi AB = a, AC = b, và vì tam giác vuông nên theo định nghĩa về độ dài của trung điểm:

\[ BM = MC = \frac{BC}{2} \]

Cạnh BC được tính theo định lý Pythagore:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Vậy:

\[ BM = MC = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \]

Khi kẻ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E, ta có thể thấy rằng điểm D trên AB và điểm E trên AC được xác định bằng các khoảng vuông góc từ M.

Do AM là khoảng cách từ điểm A đến M, trong khi AE là khoảng cách từ A đến E qua đường vuông góc, có thể tính được độ dài này bằng cách sử dụng tính chất của các hình chiếu trong tam giác vuông.

Theo tính chất hình học, ta có:

\[ AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2} \]
\[ AE = \sqrt{AC^2 + ME^2} = \sqrt{b^2 + \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2} \]

Hoặc theo định lý Pitago cho các tam giác vuông MADE và AMB, ta dễ thấy rằng \(AM = AE\).

2. **Chứng minh tứ giác DMCE là hình bình hành (điểm b)**:

Để chứng minh DMCE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác DMCE là song song.

- MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, và M là trung điểm của BC, cho chúng ta rằng M, D, và E được bao quanh bởi các đường vuông góc.

- Để chứng minh DM // CE, ta có thể xét các góc tương ứng:
- ∠MDM = ∠EME = 90° (theo định nghĩa vuông góc),
- Do đó, các đoạn DM và CE đều tạo với cạnh BC những góc vuông và do đó song song.

Hơn nữa, vì M là trung điểm của BC nên EF = 0, có nghĩa là các cạnh DM và CE cũng bằng nhau.

Khi đó, theo định nghĩa của hình bình hành, DMCE sẽ thoả mãn, tức là hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

Do đó, kết luận rằng tứ giác DMCE là hình bình hành.