Chứng minh rằng (4^2+2 -1) chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên

Chúng ta cần chứng minh rằng \(4^n + 2 - 1\) chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên \(n\).

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức này:
\[
4^n + 2 - 1 = 4^n + 1
\]

Do đó, mục tiêu của chúng ta là chứng minh rằng \(4^n + 1\) chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên \(n\).

Ta sẽ sử dụng quy nạp toán học để chứng minh.

**Bước 1: Kiểm tra bước cơ sở**

Xét cho \(n = 0\):
\[
4^0 + 1 = 1 + 1 = 2 \quad (không chia hết cho 15)
\]

Chúng ta thấy rằng bước cơ sở này không thỏa mãn, do đó ta sẽ kiểm tra cho \( n = 1 \):
\[
4^1 + 1 = 4 + 1 = 5 \quad (không chia hết cho 15)
\]

Làm tương tự với \(n = 2\):
\[
4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \quad (không chia hết cho 15)
\]

Lưu ý rằng với \(n = 1\) và \(n = 2\), ta thấy không có điều kiện nào thỏa mãn.

**Bước 2: Tính toán cho các giá trị lớn hơn**

Ta có thể tính cho các giá trị khác nhau:
- Với \(n = 3:\)
\[
4^3 + 1 = 64 + 1 = 65 \quad (65 \mod 15 = 5, không chia hết)
\]
- Với \(n = 4:\)
\[
4^4 + 1 = 256 + 1 = 257 \quad (257 \mod 15 = 7, không chia hết)
\]

**Ghi chú:**

Ta có thể sẽ cần xem xét một cách hoàn thiện hơn đối với \(15\) như sau:
- Các giá trị \(4^n\) sẽ tạo ra một chu kỳ khi chia cho 15. Ta xem dấu chia của \(4^n\) theo modulo 15:
- \(4^1 \equiv 4 \mod 15\)
- \(4^2 \equiv 1 \mod 15\)
- \(4^3 \equiv 4 \mod 15\)
- \(4^4 \equiv 1 \mod 15\)

Đến đây, ta nhận thấy rằng \(4^n\) theo modulo 15 sẽ có chu kỳ gồm 2:
\[
n \text{ lẻ} \Rightarrow 4^n \equiv 4 \mod 15 \\
n \text{ chẵn} \Rightarrow 4^n \equiv 1 \mod 15
\]

**Kết luận:**

1. Khi \(n\) là số lẻ: \(4^n + 1 \equiv 4 + 1 = 5 \mod 15\) (không chia hết).
2. Khi \(n\) là số chẵn: \(4^n + 1 \equiv 1 + 1 = 2 \mod 15\) (không chia hết).

Do đó, biểu thức \(4^n + 1\) không chia hết cho 15 đối với mọi số tự nhiên \(n\).

Điều này cho thấy rằng chứng minh không đúng và muốn khẳng định rằng thực sự \(4^n + 2 - 1\) không có định lýchia cho 15 với mọi giá trị của \(n\).