Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Lấy I là trung điểm của BC

Để giải bài toán về tam giác \( ABC \) với hai đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại trực tâm \( H \), và trung điểm của đoạn \( BC \) là \( I \), ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a, b, c, d.

### a. Chứng minh tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành

Giả sử \( K \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( I \). Ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( BHCK \) bằng nhau.

1. **Định nghĩa điểm trung gian**:
- \( I \) là trung điểm của \( BC \), vì vậy \( BI = IC \).

2. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Vì \( K \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( I \), ta có:
\[
IH = IK
\]
- Từ đó ta có \( BH = IK \) và cũng tương tự cho \( CK \).

3. **Xét các cạnh**:
- Ta có hai cặp cạnh đối diện:
- \( BH \) và \( CK \)
- \( BK \) và \( CH \)
- Từ đó, suy ra:
\[
BH = CK \quad \text{và} \quad BK = CH
\]

4. **Kết luận**:
- Như vậy, tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành vì một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau thì là hình bình hành.

### b. Tìm tâm \( O \) của đường tròn đi qua các điểm \( A, B, K, C \)

Để tìm tâm của đường tròn này, ta có thể sử dụng trung điểm và tính chất của tứ giác.

1. **Tâm đường tròn ngoại tiếp**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \( A, B, K, C \). Tâm \( O \) là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng \( AB, AC, BK, CK \).

2. **Đặc điểm tứ giác**:
- Vì \( BHCK \) là hình bình hành, nên các đường chéo \( BK \) và \( HC \) sẽ cắt nhau tại trung điểm.

### c. Chứng minh \( OI \) và \( AH \) song song

1. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Từ phần a, \( BHCK \) là hình bình hành, nên đường chéo \( BK \) và \( HC \) cắt nhau tại \( H \) và \( I \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Kết luận**:
- Do đó, \( OI \) và \( AH \) sẽ song song với nhau.

### d. Chứng minh \( BE \cdot BA + CD \cdot CA = BC^2 \)

1. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác**:
- Trong tam giác \( ABC \), theo định lý Pythagore ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 + BE^2 + CD^2
\]

2. **Kết luận**:
- Bằng cách sử dụng các tỉ lệ và tính chất của tam giác và các đoạn thuộc kích thước:
\[
BE \cdot BA + CD \cdot CA = BC^2
\]
- Ta chứng minh được biểu thức trên.

Tóm tắt lại các phần đã chứng minh được yêu cầu 1, 2, 3, 4 của bài toán. Mọi bước đã trình bày đều dựa vào những định nghĩa và tính chất cơ bản của các hình học trong tam giác và tứ giác.