Tính cos a, sin 2a, tan (a + pi/3)

Để tính \( \cos \alpha \), \( \sin 2\alpha \), và \( \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \) với điều kiện \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \) và \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính \( \cos \alpha \)
Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \):

\[
\left( \frac{2}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}
\]

Vì \( \alpha \) nằm trong khoảng \( \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), nên \( \cos \alpha < 0 \):

\[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}
\]

### Bước 2: Tính \( \sin 2\alpha \)
Ta sử dụng công thức:

\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

Thay giá trị vào:

\[
\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot -\frac{\sqrt{21}}{5} = -\frac{4\sqrt{21}}{25}
\]

### Bước 3: Tính \( \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \)
Ta có công thức:

\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]

Trong đó, \( a = \alpha \) và \( b = \frac{\pi}{3} \), với \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Trước tiên, ta cần tính \( \tan \alpha \):

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{21}}
\]

Áp dụng công thức:

\[
\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{-\frac{2}{\sqrt{21}} + \sqrt{3}}{1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \sqrt{3}}
\]

Tính tử số:

\[
-\frac{2}{\sqrt{21}} + \sqrt{3} = \frac{-2 + \sqrt{3} \sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \frac{-2 + \sqrt{63}}{\sqrt{21}}
\]

Tính mẫu số:

\[
1 + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}
\]

Vậy,

\[
\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{-2 + \sqrt{63}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}} = \frac{-2 + \sqrt{63}}{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}
\]

### Kết quả
Tóm lại, ta có:

\[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}, \quad \sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{21}}{25}, \quad \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{-2 + \sqrt{63}}{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}
\]