Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ BE vuông góc với AC tại E và CD vuông góc với AB tại D

**Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A (∠A < 90°). Vẽ BE vuông góc với AC tại E và CD vuông góc với AB tại D.**

### a) Chứng minh: \( BE = CD \)

1. **Xét tam giác cân \( ABC \)**:
- Vì \( ABC \) là tam giác cân tại A, nên \( AB = AC \).

2. **Sử dụng tính chất đường cao**:
- \( BE \) và \( CD \) đều là đường cao từ B và C nên chúng đều vuông góc với các cạnh đối diện.
- Ta có \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACD \) là các tam giác vuông.

3. **Sử dụng định lý Pitago** trong từng tam giác vuông:
- \( AB^2 = AE^2 + BE^2 \)
- \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)

4. **Chứng minh mới**:
- Xét \( BE = x \) và \( CD = y \).
- Do tam giác cân và cùng chiều cao ứng với các đáy bằng nhau \((AB = AC)\), theo định lý Pitago, ta có thể có \( BE = CD \).

Vậy, ta có \( BE = CD \).

### b) Chứng minh: Tứ giác BDEC là hình thang cân

1. **Xét các cạnh**:
- Tứ giác BDEC có hai cạnh đối diện là \( BE \) và \( CD \) vuông góc với \( AC \) và \( AB \).

2. **Định nghĩa hình thang cân**:
- Hình thang cân là hình thang có hai cạnh đáy (cả B và C đều song song và cách đều).

3. **Kết luận**:
- Từ các chứng minh trên, suy ra \( BDEC \) là hình thang cân.

### c) Gọi BE giao CD tại I, tìm điều kiện của tam giác ABC để I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC

1. **Điều kiện để I cách đều**:
- Tại điểm I giao của BE và CD, để I cách đều 3 cạnh \( AB, AC, BC \), cần có các đoạn BI, IC, AI đều bằng nhau.

2. **Chứng minh rằng**:
- Sử dụng định nghĩa điểm đi qua cạnh, trong đó các đoạn BI, IC, AI phụ thuộc vào các hệ số tỉ lệ từ các đỉnh lên giao điểm.
- Suy ra, để I cách đều các cạnh, các đoạn này cần được vẽ theo tỉ lệ đối xứng tương ứng với điểm I trong tam giác ABC.

Nếu cần, ta có thể áp dụng định nghĩa về trung điểm hoặc các phân giác để cụ thể hóa hơn nữa tính chính xác.