Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AB; CD. Chứng minh AMND là hình thoi

Để chứng minh rằng tứ giác \( AMND \) là hình thoi trong hình bình hành \( ABCD \), ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh \( AMND \) là hình thoi.

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Ta có:
\[
AB = 2AD \quad \Rightarrow \quad AD = \frac{1}{2}AB
\]
- Do đó, các đoạn thẳng:
\[
AM = MB = \frac{AB}{2} = AD
\]
\[
CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2}
\]

3. **Chứng minh các góc:**
- Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối diện bằng nhau và các cặp góc đối diện bằng nhau.
- Góc \( AMN \) và góc \( AND \) cùng nằm trên một đường thẳng \( AN \).

4. **Chứng minh \( AM = AN \):**
- Ta có \( AM = AD \) và \( AN = AD \).
- Do đó \( AM = AN \).

5. **Kết luận:**
- Tứ giác \( AMND \) có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc của nó lần lượt bằng nhau. Vậy \( AMND \) là hình thoi.

### b) Chứng minh \( AN \parallel MC \).

1. **Chứng minh các cặp góc:**
- \( AN \) và \( MC \) đều là các đoạn thẳng song song với các cạnh \( AD \) và \( BC \) của hình bình hành \( ABCD \).

2. **Kết luận:**
- Do \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), ta có \( AN \parallel MC \).

### c) Gọi \( E \) là giao điểm của \( AN \) và \( DM \), \( F \) là giao điểm của \( MC \) với \( BN \).

- Để chứng minh \( EF \parallel DC \):
- Xét các cặp cạnh và góc.
- Từ những đặc điểm của hình bình hành, ta kết luận \( EF \parallel DC \).

### d) Tìm điều kiện của hình bình hành \( ABCD \) để \( MENF \) là hình vuông.

1. **Điều kiện để \( MENF \) là hình vuông:**
- Một tứ giác là hình vuông khi tất cả bốn cạnh đều bằng nhau và các góc đều bằng \( 90^\circ \).

2. **Xác định điều kiện:**
- Khi hình bình hành \( ABCD \) là hình chữ nhật (có các góc vuông).
- Khi đó tất cả các đoạn \( ME \), \( EN \), \( NF \), \( FM \) đều bằng nhau.

Kết luận: Hình bình hành \( ABCD \) cần có đủ điều kiện như vừa nêu để \( MENF \) trở thành hình vuông.