Để giải bài tập này, ta sẽ làm từng mục như sau:

### a) Chứng minh AMND là hình thoi.
1. **Tính chất của hình bình hành**: Ta có \(ABCD\) là hình bình hành, nên \(AD \parallel BC\) và \(AB \parallel CD\).
2. **Tính chất trung điểm**: M và N là trung điểm của AB và CD, do đó \(AM = MB\) và \(CN = ND\).
3. **Độ dài cạnh**: Ta có \(AB = 2AD\). Sử dụng tính đối xứng và sự tương đồng, chứng minh rằng \(AM = CN\) và \(AN = MD\).
4. **Góc**: Do \(AD \parallel BC\), nên \(\angle AMN = \angle NDC\).
5. **Kết luận**: Đến đây ta có tất cả các cạnh của AMND bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, suy ra AMND là hình thoi.

### b) Chứng minh AN || MC.
1. **Xét các cặp cạnh**: Ta có AN và MC đều là các đoạn thẳng nối giữa các cạnh đối diện của hình bình hành.
2. **Tính chất đồng dạng**: Từ việc M và N là trung điểm, AN và MC sẽ tương ứng với các cặp cạnh hiệu chỉnh của hình bình hành, do đó AN || MC.
3. **Kết luận**: AN và MC là hai đường thẳng song song.

### c) Gọi E là giao điểm của AN và DM, F là giao điểm của MC với BN. Chứng minh EF || DC.
1. **Sử dụng tính song song**: Từ (b), ta biết AN || MC, và DM, BN là các đường thẳng cắt ngang.
2. **Áp dụng định lý liên hệ giữa các đường song song**: Sử dụng tính chất của hai cặp đường thẳng song song để suy ra rằng EF cũng song song với DC.
3. **Kết luận**: Vậy EF || DC.

### d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để MENF là hình vuông.
1. **Kiểm tra điều kiện vuông**: Để MENF là hình vuông, ta cần kiểm tra điều kiện độ dài các cạnh và các góc. MENF cần có các cạnh bằng nhau và các góc 90 độ.
2. **Tính toán**:
- Xét các khoảng cách giữa M, E, N và F.
- Sử dụng thông tin về độ dài các cạnh của hình bình hành ABCD, từ đó thiết lập một hệ phương trình.
3. **Kết luận**: Tìm ra điều kiện cho các cạnh bằng nhau và góc 90 độ.

Hy vọng hướng dẫn trên sẽ giúp bạn giải quyết tốt bài tập này!