Để giải câu a), ta bắt đầu đơn giản hóa phương trình:

\[
2^x + 2^{x+3} = 144
\]

Ta thấy rằng \(2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8\). Thay vào phương trình, ta có:

\[
2^x + 8 \cdot 2^x = 144
\]

\[
2^x (1 + 8) = 144
\]

\[
2^x \cdot 9 = 144
\]

Chia cả hai vế cho 9, ta có:

\[
2^x = \frac{144}{9} = 16
\]

Ta biết rằng \(16 = 2^4\), vì vậy:

\[
2^x = 2^4 \implies x = 4
\]

Vậy số tự nhiên \(x\) là \(4\).

---

Tiếp theo, để giải câu b), ta cần tìm tập hợp các số tự nhiên \(x\) sao cho \(2^3 - 1 < 5^x \leq 5^6\).

Trước tiên, tính giá trị:

\[
2^3 - 1 = 8 - 1 = 7
\]
\[
5^6 = 15625
\]

Do đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
7 < 5^x \leq 15625
\]

Giải bất đẳng thức \(5^x > 7\):

Lấy logarit cơ số 5 hai vế:

\[
x > \log_5(7)
\]

Sử dụng tính năng đổi cơ số:

\[
\log_5(7) = \frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(5)} \approx \frac{0.845}{0.699} \approx 1.21
\]

Như vậy \(x\) phải lớn hơn 1.21. Vậy \(x \geq 2\) với \(x\) là số tự nhiên.

Giải tiếp bất đẳng thức \(5^x \leq 15625\):

\[
x \leq 6
\]

Kết hợp lại, ta được:

\[
2 \leq x \leq 6
\]

Vậy tập hợp các số tự nhiên \(x\) thoả mãn là: \( \{2, 3, 4, 5, 6\} \).