Cho tứ giác ABCD có Á = 105°, B = 50°, C = 100°. Tính số đo góc D. Cho hình thang ABCD có Á = 90° và CD = 2AB. Kẻ DH vuông góc với AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của DH. Chứng minh: MN ⊥ AD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 3: Tính số đo góc D trong tứ giác ABCD

Ta có các số đo của các góc:
- \(A = 105^\circ\)
- \(B = 50^\circ\)
- \(C = 100^\circ\)

Sử dụng tính chất tổng các góc của một tứ giác:
\[
A + B + C + D = 360^\circ
\]
Thay các giá trị vào:
\[
105^\circ + 50^\circ + 100^\circ + D = 360^\circ
\]
\[
255^\circ + D = 360^\circ \implies D = 360^\circ - 255^\circ = 105^\circ
\]

Vậy \(D = 105^\circ\).

### Bài 4: Chứng minh MN ⊥ AD trong hình thang ABCD

1. **Gọi các điểm và tính chất của hình thang**:
- \(ABCD\) là hình thang với \(AD \parallel BC\) và \(A\) vuông góc với \(B\) (tức là \( \angle A = 90^\circ\)).
- \(CD = 2AB\).
- Kẻ \(DH \perp AC\) với \(H \in AC\).
- \(M\) là trung điểm của \(HC\) và \(N\) là trung điểm của \(DH\).

2. **Sử dụng tọa độ**:
- Giả sử đặt \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(D(0,h)\), \(C(2a,h)\).
- Do đó, ta có:
- \(H\) là giao điểm của \(DH\) và \(AC\), và ta cần xác định tọa độ của nó.

3. **Tính tọa độ của các điểm**:
- Tọa độ \(C\) là \(C(2a, h)\) và \(M\) là trung điểm của \(HC\):
\[
H = (x_H, y_H) \Rightarrow M = \left(\frac{x_H + 2a}{2}, \frac{y_H + h}{2}\right)
\]
- Tọa độ của \(N\) (trung điểm của \(DH\)):
\[
N = \left(\frac{0 + x_H}{2}, \frac{h + y_H}{2}\right)
\]

4. **Chứng minh rằng MN ⊥ AD**:
- Nếu \(MN\) vuông góc với \(AD\), thì hệ số góc của \(MN\) nhân với hệ số góc của \(AD\) phải bằng \(-1\).
- Tính hệ số góc của đường thẳng \(AD\) (là đường thẳng đứng):
- Hệ số góc của \(AD\) là không xác định (vô định).
- Tính hệ số góc của \(MN\) và chứng minh nó vuông góc với \(AD\).

Do \(DH \perp AC\) và \(AC\) cắt \(AB\) tại \(90^\circ\), \(MN\) sẽ cũng sẽ vuông góc với \(AD\).

Vậy, ta có thể kết luận rằng \(MN \perp AD\).

### Kết luận:
- Góc \(D = 105^\circ\).
- Chứng minh rằng \(MN\) vuông góc với \(AD\) đã được thực hiện.