Để chứng minh các đặc điểm hình học trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

Để chứng minh ANEM là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện hoặc hai cặp góc đối diện là bằng nhau.

- **Chứng minh AN ⊥ EM và AE ⊥ MN:**
- Từ điều kiện bài toán, ta có EN ⊥ AB tại N, và EM ⊥ AC tại M.
- Do A là góc vuông, tức là \(\angle A = 90^\circ\), suy ra \(\angle ANE = \angle AEN = 90^\circ\).
- Ta có AN và EM cắt nhau tại E và tạo thành góc vuông tại E.

- **Chứng minh AE = AN và EM = EN:**
- E là trung điểm của BC, nên BE = EC.
- Ta có tam giác vuông ABE và AEC. Vấn đề này giúp ta chứng minh AN = EM vì chúng là cạnh của cùng một tam giác vuông (với E là trung điểm).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh tứ giác ABCF là hình bình hành.

- **M là trung điểm của BF:**
- Theo giả thiết, M là trung điểm của BF. Vậy ta có MB = MF.

- **AC // BF:**
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AC // MN (do MN ⊥ AC) và biết rằng cặp cạnh tương ứng đối diện của tam giác vuông là song song.

Do vậy, lại có AC // BF. Vậy tứ giác ABCF thỏa mãn tính chất của hình bình hành.

Lập luận thêm có thể dùng là tứ giác ABCF có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, bởi MB = MF và AB = AC.

### c. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.

- **AD = CE:**
- Theo giả thiết, ta có AD = CE.

- **AE = AC:**
- Từ A đến C, ta có AE = AC khi E là trung điểm của BC.

- **Góc phía đối diện:**
- Các cặp góc đối diện bằng nhau (góc AEC = góc ADC) suy ra từ tính đối xứng của các đoạn thẳng.

Vì vậy, tứ giác AECD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, thỏa mãn định nghĩa hình thoi.

Tóm lại, tứ giác AECD là hình thoi.