Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia thành hai phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 3.

**Bước 1**: Tìm công thức tổng của dãy số này.

Dãy số là một hình thức cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 2 \) và tỷ số \( q = 2 \). Số hạng cuối là \( 2^{100} \). Tổng của dãy số cấp số nhân được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}
\]

Trong đó \( n \) là số hạng. Ở đây, chúng ta có \( n = 100 \), vậy:

\[
A = \frac{2(2^{100} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

**Bước 2**: Chứng minh \( A \) chia hết cho 3.

Ta sẽ kiểm tra \( 2^{101} - 2 \) chia hết cho 3. Sử dụng định lý Fermat về số nguyên tố, ta có:

\[
2^2 \equiv 1 \mod 3
\]

Từ đó, ta tính:

\[
2^{101} = (2^2)^{50} \cdot 2 \equiv 1^{50} \cdot 2 \equiv 2 \mod 3
\]

Do đó:

\[
2^{101} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( A \) chia hết cho 3.

### b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), các số \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là nguyên tố cùng nhau.

Hai số \( n + 1 \) và \( 3n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (USCLN) của chúng là 1.

**Bước 1**: Tính \( \text{gcd}(n + 1, 3n + 4) \).

Áp dụng tính chất của USCLN, ta có:

\[
\text{gcd}(n+1, 3n+4) = \text{gcd}(n+1, 3n+4 - 3(n+1)) = \text{gcd}(n+1, 3n + 4 - 3n - 3) = \text{gcd}(n+1, 1)
\]

**Bước 2**: Kết luận.

Vì \( \text{gcd}(n+1, 1) = 1 \), do đó \( n+1 \) và \( 3n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau cho mọi số tự nhiên \( n \).

Kết thúc.