Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \), ta cần tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) để xác định vị trí cực trị của hàm số.

1. Tính đạo hàm của hàm số:
\[
f'(x) = 3x^2 + 6x - 9
\]

2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 + 6x - 9 = 0
\]
Chia cả phương trình cho 3:
\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = -3
\]

3. Tính tọa độ y tương ứng với các nghiệm trên:
\[
f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4
\]
\[
f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28
\]

4. Tọa độ của hai điểm cực trị là:
\((1, -4)\) và \((-3, 28)\).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số sẽ nằm ở điểm giữa (trung điểm) của hai điểm cực trị:
\[
a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]
\[
b = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]

5. Vậy tọa độ tâm đối xứng là \( i(-1; 12) \).

Cuối cùng, tính giá trị \( 2a + b \):
\[
2a + b = 2 \cdot (-1) + 12 = -2 + 12 = 10
\]

Kết luận, giá trị của \( 2a + b \) là \( 10 \).