Dưới đây là lời giải cho các phương trình trong đề bài:

### 1. Giải phương trình \((x-1)(3x-6) = 0\)

- Phương trình này có thể được giải bằng cách đặt từng biểu thức bằng 0:

1. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
2. \(3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2\)

**Kết quả:** \(x = 1\) hoặc \(x = 2\)

---

### 2. Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
7x - 2y = 1 \\
3x + y = 6
\end{cases}
\]

- Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):
\[
y = 6 - 3x
\]

- Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
7x - 2(6 - 3x) = 1
\]
\[
7x - 12 + 6x = 1
\]
\[
13x - 12 = 1 \Rightarrow 13x = 13 \Rightarrow x = 1
\]

- Thay \(x = 1\) vào \(y = 6 - 3x\):
\[
y = 6 - 3(1) = 3
\]

**Kết quả:** \(x = 1, y = 3\)

---

### 3. Giải bất phương trình:

\[
\frac{4x + 5}{2} - 1 \leq \frac{5x + 6}{3} + x
\]

- Rút gọn bất phương trình:
\[
\frac{4x + 5}{2} - 1 \leq \frac{5x + 6}{3} + x
\]

- Biến đổi hai vế:
\[
\frac{4x + 5 - 2}{2} \leq \frac{5x + 6 + 3x}{3}
\]
\[
\frac{4x + 3}{2} \leq \frac{8x + 6}{3}
\]

- Nhân chéo:
\[
3(4x + 3) \leq 2(8x + 6)
\]
\[
12x + 9 \leq 16x + 12
\]

- Rút gọn:
\[
9 - 12 \leq 16x - 12x \Rightarrow -3 \leq 4x \Rightarrow x \geq \frac{-3}{4}
\]

**Kết quả:** \(x \geq -\frac{3}{4}\)

---

### 4. So sánh \(m\) và \(n\):

Cho bất phương trình \(-10m - 3 \leq -10n - 3\):

- Cả hai vế đều trừ đi 3:
\[
-10m \leq -10n
\]

- Nhân cả hai vế với -1 (làm đảo dấu):
\[
10m \geq 10n \Rightarrow m \geq n
\]

**Kết quả:** \(m \geq n\)

---

Tóm lại, các kết quả là:
1. \(x = 1\) hoặc \(x = 2\)
2. \(x = 1, y = 3\)
3. \(x \geq -\frac{3}{4}\)
4. \(m \geq n\)