Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu.

### Bài 31:
Cho biểu thức \( B = \frac{\sqrt{b - 3} + \sqrt{b + 1}}{b + 3} - \frac{b - 2}{b - 3} \div (b - 9) \).

#### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B:
- **Điều kiện xác định**:
- Tử số và mẫu số của các phân thức cần khác 0.
- Để \(\sqrt{b - 3}\), \(\sqrt{b + 1}\), và \(b - 9\) xác định, ta có:
- \(b - 3 \geq 0 \Rightarrow b \geq 3\)
- \(b + 1 \geq 0 \Rightarrow b \geq -1\)
- \(b - 9 \neq 0 \Rightarrow b \neq 9\)
- Do đó, điều kiện xác định là \(b \geq 3\) và \(b \neq 9\).

- **Rút gọn**:
- Cần thực hiện các phép toán đại số và rút gọn biểu thức.

#### b) Tìm các giá trị của \(b\) để \(B \geq 1\):
- Thiết lập bất phương trình \(B \geq 1\) và giải.

### Bài 32:
Cho biểu thức \( P = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \frac{x - 1}{2\sqrt{x + 1}} \) với \(x \geq 0, x \neq 1\).

#### a) Rút gọn biểu thức P:
- Thực hiện cộng các phân thức và rút gọn.

#### b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \leq -1\):
- Thiết lập bất phương trình và giải.

### Bài 33:
Cho biểu thức \( P = \frac{1}{\sqrt{y - 5}} + \frac{1}{\sqrt{y - 1}} \) với \(y > 0; y \neq 1\).

#### a) Rút gọn biểu thức P:
- Tương tự như trên.

#### b) Tìm các giá trị của \(y\) để \(P \leq \frac{1}{2}\):
- Thiết lập và giải bất phương trình.

### Bài 34:
Cho biểu thức \( P = \frac{2\sqrt{x - 9}}{-5\sqrt{x + 6}} + \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2\sqrt{x + 1}}{x - 3} \) với \(x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9\).

#### a) Rút gọn biểu thức P:
- Thực hiện các bước rút gọn tương tự.

#### b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P > 1\):
- Thiết lập và giải bất phương trình.

Bạn có thể làm theo các bước trên để giải từng bài. Nếu cần thêm chi tiết vào từng bước, hãy cho tôi biết!