Tính hợp lý? Chứng minh A/B là một số nguyên? Tính giá trị của biểu thức?

Dưới đây là hướng dẫn giải cho các bài toán trong hình:

### Bài 1:
a) Tính giá trị \( A \):
\[ A = 1 - \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{2021.2022} \]
Sử dụng công thức tổng quát, bạn có thể biến đổi và tính giá trị.

b) Tương tự, tính \( B \):
\[ B = \frac{3}{5} - \frac{7}{11} + \frac{1}{1.4} + \ldots + \frac{1}{16.27} \]
Cũng áp dụng phương pháp biến đổi.

c) Tính \( C \):
\[ C = 1 - \frac{1}{10} + \frac{1}{100} - \ldots + \frac{1}{1000000} \]
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân hoặc hình học.

### Bài 2:
Cho \( A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + \ldots \) và \( B = \frac{1}{1.20} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{21.37} + \ldots \)

**Chứng minh** rằng \( \frac{A}{B} \) là một số nguyên.
- Tính các giá trị cụ thể của \( A \) và \( B \) và chứng minh tỉ lệ là số nguyên thông qua các phép biến đổi.

### Bài 3:
Tính các giá trị:
a) Tính tổng:
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{1999} \]
b) Tính giá trị tương tự cho dãy số đã cho.

### Bài 4:
Tính giá trị biểu thức:
\[ \left| \frac{3}{1.8 + 15.22 + \ldots + 106.113} \cdot \left( \frac{25}{50.55} + \frac{25}{95.100} \right) \right| \]

### Bài 5:
Tính giá trị của biểu thức:
\[ 2^{30.57} + 2^{13.57} \]

### Bài 6:
a) Tổng \( S_n = 1 + a + a^2 + \ldots + a^n \) cần chứng minh.

b) Tính tổng dưới dạng:
\[ A = 1 + 1^2 + 1^3 + \ldots + 3^{2008} \]

### Bài 7:
Chứng minh rằng:
\[ H = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2007^2} < 1 \]

### Bài 8:
Tính toán các biểu thức:
a) \( A = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots \)
b) Tính \( B = 1 + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{3^{500}} \)
c) \( C = 100^2 - 992 - 982 - \ldots - 22 - 1 \)

Bạn có thể áp dụng các phương pháp tính toán căn bản và biến đổi để nhận được giá trị cuối cùng cho từng bài.